2023-12-07DiscreteStructure-L06

• toc {:toc}

함수

• 집합 X, Y 가 있을 때
• 함수 f : X 에서 Y 로의 관계의 부분 집합, 사상
• X 의 모든 원소가 Y 의 원소 중 하나씩만 대응되는 관계, f : X→Y
• X : 정의역, Dom(f)
• Y : 공변역
• f(x) = y 에서..
  • y : 함수 f 에 의한 x 의 상 (image), 함숫값
  • 함숫값의 집합 : 치역, Ran(f)
• f(x)=g(x) 이면 함수 f, g 는 같다.(f=g)
• 함수가 되지 않는 경우

1. 정의역의 모든 원소가 함수에 의해 정의되지 않을 때
2. 한 원소가 공변역의 원소에 두 개 이상 정의될 때

• 함수는 집합 X 의 모든 원소가 집합 Y 의 원소 중 하나와 관계가 있어야 하므로 관계의 특별한 경우이다.

단사, 전사, 전단사 함수

• 단사 함수 (일대일 함수) : 에 대해 이면 인 경우
  • 즉, f(x) = y 에서 x 에 대응되는 y 가 오직 1 개만 존재한다는 의미이다.
• 전사 함수 : A→B 에서 B 의 모든 원소 b 에 대해 f(a) = b 가 성립하는 가 적어도 하나 존재하는 경우
  • 즉, 함수이면서 공변역과 치역이 같은 경우를 말한다.
• 전단사 함수 (일대일 대응 함수) : 단사, 전사를 모두 만족하는 경우를 말한다.
  • 공변역과 치역이 같고, x 에 대응되는 y 가 오직 하나 존재하기 때문에 정의역과 공변역, 치역의 원소의 개수는 동일하다.
• 특징
• 단사 : A 의 원소의 개수 ⇐ B 의 원소의 개수
• 전사 : A 의 원소의 개수 >= B 의 원소의 개수
• 전단사 : A 의 원소의 개수 == B 의 원소의 개수
• x 축 y 축 그래프로 구분하기
• 단사 함수 : x 의 두 값에 대해 같은 y 가 있는지를 확인하면 된다. 즉, 과 같이 서로 다른 x 에 대해 같은 y 값을 가지고 있는지 확인하면 된다.
• 전사 함수 : x 값에 대해 모든 y 값이 대응되는지를 확인한다.
• 전단사 함수 : y=x 와 같이 단사 전사를 모두 만족하는 경우를 확인한다.

여러 가지 함수들

• 합성 함수 g(f(x)) = y
• 세 가지 함수 f, g, h 를 합성하는 경우 결합 법칙이 성립한다.
• 항등 함수 : A → A 일 때 f(a) = a 인 경우
• 역함수 : 전단사 함수일 때 정의할 수 있다.
• 전단사 함수가 아닌 경우 함수 f 의 역관계는 함수가 되지 않는다.
• 상수 함수 : 집합 A 의 모든 원소가 집합 B 의 오직 한 원소와 대응하는 경우 x = 3
• 특성 함수