2023-12-07DiscreteStructure-L06

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함수

• 집합 X, Y가 있을 때

• 함수 f : X에서 Y로의 관계의 부분 집합, 사상

• X의 모든 원소가 Y의 원소 중 하나씩만 대응되는 관계, f : X→Y

• X : 정의역, Dom(f)

• Y : 공변역

• f(x) = y 에서..

  • y : 함수 f에 의한 x의 상(image), 함숫값
  • 함숫값의 집합 : 치역, Ran(f)

• f(x)=g(x) 이면 함수 f, g는 같다.(f=g)

• 함수가 되지 않는 경우

1. 정의역의 모든 원소가 함수에 의해 정의되지 않을 때
2. 한 원소가 공변역의 원소에 두 개 이상 정의될 때

• 함수는 집합 X의 모든 원소가 집합 Y의 원소 중 하나와 관계가 있어야 하므로 관계의 특별한 경우이다.

단사, 전사, 전단사 함수

• 단사 함수(일대일 함수) : 에 대해 이면 인 경우

  • 즉, f(x) = y 에서 x에 대응되는 y가 오직 1개만 존재한다는 의미이다.

• 전사 함수 : A→B에서 B의 모든 원소 b에 대해 f(a) = b가 성립하는 가 적어도 하나 존재하는 경우

  • 즉, 함수이면서 공변역과 치역이 같은 경우를 말한다.

• 전단사 함수(일대일 대응 함수) : 단사, 전사를 모두 만족하는 경우를 말한다.

  • 공변역과 치역이 같고, x에 대응되는 y가 오직 하나 존재하기 때문에 정의역과 공변역, 치역의 원소의 개수는 동일하다.

• 특징

• 단사 : A의 원소의 개수 ⇐ B의 원소의 개수

• 전사 : A의 원소의 개수 >= B의 원소의 개수

• 전단사 : A의 원소의 개수 == B의 원소의 개수

• x축 y축 그래프로 구분하기

• 단사 함수 : x의 두 값에 대해 같은 y가 있는지를 확인하면 된다. 즉, 과 같이 서로 다른 x에 대해 같은 y값을 가지고 있는지 확인하면 된다.

• 전사 함수 : x값에 대해 모든 y값이 대응되는지를 확인한다.

• 전단사 함수 : y=x와 같이 단사 전사를 모두 만족하는 경우를 확인한다.

여러 가지 함수들

• 합성 함수 g(f(x)) = y

• 세 가지 함수 f, g, h를 합성하는 경우 결합 법칙이 성립한다.

• 항등 함수 : A → A 일 때 f(a) = a 인 경우

• 역함수 : 전단사 함수일 때 정의할 수 있다.

• 전단사 함수가 아닌 경우 함수 f의 역관계는 함수가 되지 않는다.

• 상수 함수 : 집합 A의 모든 원소가 집합 B의 오직 한 원소와 대응하는 경우 x = 3

• 특성 함수