[이산구조] L01.이산수학의 개요

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공부하기 위해 정리하는 이산수학

이산수학

• 이산수학 : 연속의 개념을 사용하지 않고 이산적인 구조를 다룬다.

  • ex) 집합, 정수, 관계, 그래프, 형식 언어, …

• 연속 : 미적분학, 위상수학, 복소수론, 추상대수학, 해석학 …

• 이산 : 논리, 명제, 집합, 관계, 함수, 그래프, 트리, …

• 이산수학의 필요성

1. 수학적 논리, 이산수학 → 창의적인 사고 가능
2. 공학 분야 학습에 필요한 이산수학적인 기초를 다짐
3. 자료구조, 알고리즘, 운영체제 등 많은 전산 분야의 수학적 바탕을 확립
4. 수학적 구조를 이해해 다양한 응용 분야의 기초를 다짐
5. 복잡한 현상들을 추상화하여 개념적 이해 가능

수학적 모델링

• 수학적 모델링 : 문제 해결을 위해 수학적 구조에 매핑시켜 보다 체계적으로 문제를 해결하는 방법론

주어진 문제(상황, 배경) → 수학적 구조와 매핑 → 수학적 기초개념을 이용한 문제해결

• 효과적인 문제해결 방법

1. 아이디어 스케치
2. 추상적 모델 구상
3. 수학적 모델링
4. 문제 풀이 및 적용 ⇒ 블록 다이어그램, 전이 다이어그램 표현 / 유사 코드로 구체화
5. 해결

4차 산업혁명 시대와 이산수학

• 1차 산업혁명 : 증기기관을 이용한 ‘기계적 혁명’
• 2차 산업혁명 : 전기 힘을 이용한 ‘대량생산의 시작’
• 3차 산업혁명 : 컴퓨터를 통한 생산과 유통시스템의 ‘자동화’
• 4차 산업혁명 : 소프트웨어를 통한 기계와 제품의 ‘지능화’

연습문제 풀이

• Part1

1. 미적분학 → 연속적이므로 이산수학 영역이 아니다.
2. 트리 개념의 문제풀이는 이산수학의 영역이다.
3. 이산 → ‘연결되지 않고 떨어져 있다’, 디지털 시계 → 이산, 아날로그 시계 → 연속
4. 아날로그 컴퓨터 → 연속적 데이터, 디지털 컴퓨터 → 이산적 데이터
5. 이산수학을 통해 추상적 모델의 개념적 이해를 도울 수 있다.
6. 이산수학은 공학적 응용에 체계적이고 기본적인 지식을 제공한다.
7. 이산수학을 통한 수학적 모델링을 통해 공학적 응용 가능하다.
8. 방정식 → 문제 해결 → 수학적 모델링의 한 예시이다.
9. 음료수 자판기 → 다이어그램을 이용한 효율적 문제 해결 방법이다.
10. 아이디어 스케치 → 문제 해결을 위한 좋은 모델링 방법
11. 가족이 강을 건너는 예 → 방법 여러 가지이다.
12. 다이어그램 → 유사 코드 → 프로그램 해결 가능
13. 수학적 모델링 단계에서 추상적인 모델을 수학적인 지식을 바탕으로 구체화한다.
14. 컴퓨터의 개발, 발전 → 디지털 혁명
15. 4차 산업 혁명 → 이산수학과 연관성 많다.
16. 1차 산업혁명 → 증기기관, 3차 산업혁명 → 컴퓨터

• Part2

1. 이산수학 영역이 아닌 것은? → 미적분학
2. 연속 개념에 가까운 것은? → 추상대수
3. 이산수학을 학습하는 이유가 아닌 것은? → 전반적인 수학에 대한 이해
4. 이산수학의 특징이 아닌 것은? → 아날로그 개념
5. 수학적 구조에 속하는 것은? → 방정식
6. 이산수학의 응용 분야에 속하지 않는 것은? → 추상적 수학의 개념 이해
7. 문제 해결 모델링 단계에 들어있지 않은 것은? → 증명의 검증
8. 주어진 문제를 해결할 수 있는 핵심적인 실마리를 찾아내는 단계인 것은? → 아이디어 스케치
9. 4차 산업혁명의 영역에 속하지 않는 것은? → 행렬과 행렬식
10. 인공지능 컴퓨터인 왓슨과 이산수학과의 관계에 속하지 않는 것은? → 미적분 문제의 빠른 계산

• Part3

1. 이산의 개념이란? → 연결되지 않고 떨어져 있는 개념
2. 이산수학에서 주로 다루는 주제 5가지 이상 적으시오.
   • 명제, 논리, 그래프, 트리, 관계, 행렬 및 행렬식
3. 문제 해결을 위한 모델링에서 중요한 4단계를 답하시오.
   • 아이디어 스케치, 추상적 모델 구성, 수학적 모델링, 문제 풀이 및 적용
4. 이산수학과 정보기술 분야와의 관계를 적으시오.
   • 정보기술 분야에서 컴퓨터를 가장 많이 사용하고, 컴퓨터는 이산적인 구조로 이루어져 있으므로 이산수학의 개념이 기본적인 토대로 사용된다.
5. 우리가 이산수학을 학습하는 이유 3가지 이상
   • 응용분야에 대한 기초 토대를 다진다.
   • 복잡한 현상을 추상화하여 개념적 이해가 가능하다.
   • 수학적 논리와 이산수학을 통해 창의적 사고를 할 수 있다.
6. 소프트웨어 작성과 관련된 프로그래밍의 경우에서 블록 다이어그램으로 표현할 수 있는 4가지 제어 구조를 밝히시오.
   • 아이디어 스케치, 추상적 모델 구성, 수학적 모델링, 문제 풀이 및 적용 (명확히 잘 모르겠다.)
7. 자판기 작동 다이어그램에서 500원 동전과 1000원 지폐도 사용할 수 있게 하려면 추가해야 할 다이어그램은?
   • 거스름돈을 거슬러주는 다이어그램을 추가한다.
8. 문제 해결을 위해 다이어그램을 이용할 경우 얻을 수 있는 장점
   • 논리적으로 문제를 파악할 수 있다. 추상적인 문제를 단계별로 나누어 생각할 수 있다.
9. 이산수학의 생활 속 다양한 응용 분야
   • 네트워크의 분석, 도시를 연결하는 최단 거리, 통계적 분석
10. 4차 산업혁명의 주요 영역
    • 인공지능, 사물 인터넷, 로봇 프로그래밍, 블록체인